\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
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\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\usepackage{comment}

\begin{document}
	\section{Fourier 变换} 
	\footnote{参考：顾樵《数学物理方法》。使用了AI辅助}
	我们先前了解了Fourier级数，其将定义在$(-L,L)$上的函数$f(x)$转换为一组三角函数的求和：
	\begin{equation}\label{eq:fourier_series}
		\text{Fourier 级数:} \qquad 
		f(x) =  a_0 + \sum_{n=1} (a_n \cos(\omega_n x)+ b_n \sin\omega_n x)) , x\in[-L,L]
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\omega_n & = \frac{\pi n}{L} \\
			a_0 & = \frac{1}{2L} \int^L_{-L} f(x) \dd x  \\
			a_n &=  \frac{1}{L} \int^L_{-L} f(x) \cos(\omega_n x) \dd x  \\
			b_n &=  \frac{1}{L} \int^L_{-L} f(x) \sin(\omega_n x) \dd x \\ 
		\end{aligned}
		\qquad n=1,2,3,...
	\end{equation}
	如果将Fourier级数推广至定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$，我们就会得到Fourier积分。
	Fourier积分的显著特点是原先离散的频率现在是连续的，因此相应的“系数”也应该连续：
	\begin{equation} \label{eq:Fourier_integral}
		\text{Fourier 积分:} \qquad 
		f(x) =  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} A(\omega) \cos(\omega x) \dd \omega  +  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} B(\omega) \sin(\omega x) \dd \omega 
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} f(x) \cos(\omega x) \dd x \\ 
			B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} f(x) \sin(\omega x) \dd x \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	如果使用复指数改写Fourier积分，我们还能得到更紧凑的Fourier变换：
	\begin{equation}
		\text{Fourier 变换:} \qquad 
		\begin{aligned}
			f(x) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F(\omega ) e^{i \omega x} \dd \omega \\
			F(\omega) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} f(x) e^{-i \omega x} \dd x  \\ 
		\end{aligned}
	\end{equation}
	看起来复杂了很多！Fourier变换中又是积分又是复变函数。
	不过某种意义上Fourier变换和Fourier级数的概念是一致的:
	\begin{equation}
		\text{不严谨：} \qquad f(x) = \sum_n \frac{F(\omega_n)}{\sqrt{2\pi}} e^{i \omega_n x} = \sum_n c_n e^{i \omega_n x}
	\end{equation}
	Fourier变换也将$f(x)$视为一组$e^{i \omega_n x}$的求和，$\frac{F(\omega_n)}{\sqrt{2\pi}}$是相应的（复）系数；
	只不过，由于$\omega$是连续的（而不是Fourier级数的离散），因此写为积分形式。
	
	由于相关证明非常繁琐，因此证明留在文末。
	
	%据我所知，
	%在理论物理中Fourier变换经常出现；
	%但在工程实际中由于信号的采样一般局限于一定的时间范围因此Fourier级数比较常用；
	%但很神奇的是，这样一个处理Fourier级数的算法却叫快速Fourier变换（FFT）。
	
	
	\newpage
	
	\section{多元函数的Fourier变换}
	上文中我们给出了单变量函数的Fourier变换。
	只需对每一个变量分别做一次Fourier变换，就能得到多元函数的Fourier变换。
	由于变换前函数有三个变量$x,y,z$，那么变换后也相应地有3个频率变量$\omega_x, \omega_y, \omega_z$：
	\begin{equation}
		\text{多元函数 Fourier 变换:} \qquad 
		\begin{aligned}
			f(x,y,z) & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} F(\omega_x,\omega_y,\omega_z ) e^{i  (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd \omega_x  \dd \omega_y  \dd \omega_z \\
			F(\omega_x,\omega_y,\omega_z) & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} f(x,y,z)  e^{-i (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd x \dd y \dd z \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	或者压缩为更简洁的向量记号，记$\bvec \omega = (\omega_x, \omega_y, \omega_z), \bvec r = (x,y,z)$，那么：
	\begin{equation}
		\text{多元函数 Fourier 变换:} \qquad 
		\begin{aligned}
			f(\bvec r) & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} F(\bvec \omega) e^{i \bvec \omega \cdot \bvec r} \dd^3 \bvec \omega\\
			F(\bvec \omega) & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} f(\bvec r) e^{-i \bvec \omega \cdot \bvec r}  \dd^3 \bvec r\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	多元Fourier变换由来的不严谨说明同样附在文末。
	
	\newpage
	
	\section{应用Fourier变换的例子}
	
	\subsection{Delta函数}
	首先，让我们对Dirac函数$\delta(x)$
	\footnote
	{
		Dirac函数$\delta(x)$是一种广义函数，满足以下性质：
		$$
		\delta(x - a) =
		\begin{cases}
			0 & x \ne a, \\
			+\infty & x = a.
		\end{cases}
		$$
		它的积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - a) \, dx = 1$；
		一个推论是，对于任意连续函数$f(x)$，有 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a) \, dx = f(a)$。
	}
	做Fourier变换：
	\begin{equation}
		f(x) = \delta(x)
	\end{equation}
	其Fourier变换为(使用Dirac函数的积分性质)：
	\begin{equation}
		F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-i\omega x} \dd x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
	\end{equation}
	也就是说，Dirac函数在Fourier变换后变成一个常函数。反而言之，
	\begin{equation}
		f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i\omega x} \dd \omega
		= \frac{1}{2 \pi} \int^{\infty}_{-\infty} e^{i\omega x} \dd \omega
	\end{equation}
	又因为我们知道$f(x) = \delta(x)$，
	因此我们得到一个重要积分结论：
	\begin{equation}
		\int^{\infty}_{-\infty} e^{i\omega x} \dd \omega = 2 \pi \delta(x)
	\end{equation}
	亦即
	\begin{equation} \label{eq_fourier_delta}
		\int^{\infty}_{-\infty} e^{ik x} \dd x = 2 \pi \delta(k)
	\end{equation}
	这个结论在Fourier变换中几乎无处不在。
	
	\subsection{常函数}
	我们对常函数做Fourier变换：
	\begin{equation}
		f(x) = C
	\end{equation}
	那么
	\begin{equation}
		F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} C e^{-i\omega x} \dd x = \frac{C}{\sqrt{2\pi}} \delta(\omega)
	\end{equation}
	也就是说，常函数的Fourier变换结果是Dirac函数，即$F(\omega)$只在$\omega=0$处有一个尖峰，而在其他位置均为零。
	这符合我们的直觉：Fourier变换分析了一个函数的频率分布，
	而常函数相当于一个周期无限大、频率无限小的“波”，
	因此其Fourier变换后只在$0$频率处有频谱是合理的。
	
	\newpage
	\subsection{$\cos$与$\sin$}
	为了更好地配合三角函数的含义，我们以下使用$F(k)$而非$F(\omega)$，这只是把$\omega$的名称改为$k$。
	我们对三角函数做Fourier变换：
	\begin{equation}
		f(x)=\cos(k_0 x)
	\end{equation}
	那么，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			F(k) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} \cos(k_0 x) e^{-i k x} \dd x \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{i k_0 x}+e^{-i k_0 x}}{2} e^{-i k x} \dd x \\
			& = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} e^{i (k_0 -k) x}\dd x + \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} e^{-i (k_0 + k) x} \dd x \\
			& = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} (\delta(k_0-k)+\delta(k_0+k))
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中使用了重要结论 $\int^\infty_{-\infty} e^{i k x} \dd x = 2\pi \delta(k)$。
	这一结果与我们的预期相符：$f(x) = \cos(k_0 x)$ 只包含单个频率 $k_0$ 的波，
	因此其 Fourier 变换后，$F(k)$ 也只在 $k = k_0$ 处有一个峰 $\delta(k - k_0)$。
	$F(k)$ 有两个对称的峰是因为 $f(x)$ 是实数函数，需要抹掉虚部。
	
	同理，
	\begin{equation}
		f(x)=\sin(k_0 x)
	\end{equation}
	的Fourier变换是
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			F(k) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} \sin(k_0 x) e^{-i k x} \dd x \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{i k_0 x}-e^{-i k_0 x}}{2i} e^{-i k x} \dd x \\
			& = \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} e^{i (k_0 - k) x} \dd x - \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} e^{-i (k_0 + k) x} \dd x \\
			& = \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}} \cdot 2\pi \delta(k_0 - k) - \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}} \cdot 2\pi \delta(k_0 + k) \\
			& = -\frac{i\sqrt{2\pi}}{2} (\delta(k_0 - k) - \delta(k_0 + k))
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\subsection{复三角函数}
	上述问题启发我们，如果我们有
	\begin{equation}
		F(k) = \delta(k-k_0)
	\end{equation}
	那么我们的$f(x)$是什么？
	做Fourier逆变换
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			f(x) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} F(k) e^{i k x} \dd k \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} \delta(k - k_0) e^{i k x} \dd k \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i k_0 x}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	也就是说，$F(\omega)$中一个单一频率的峰，对应的$f(x)$是一个相应频率的复三角函数。
	
	
	
	\newpage
		
	\section{附件}
	\subsection{推导Fourier积分}
	我们已经知道了对定义在$(-L,L)$上的函数进行Fourier变换(\formula{eq:fourier_series})。
	如果要把这个结论推广到定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数，一个自然的想法就是令$L\to+\infty$。
	
	我们已经知道角频率是
	\begin{equation} 
		\omega_n = \frac{\pi n}{L}
	\end{equation}
	那么两个频率的间隔为
	\begin{equation}
		\Delta \omega = \omega_{n+1} - \omega_n = \frac{\pi}{L}
	\end{equation}
	
	首先我们观察\formula{eq:fourier_series} 中的$\sum_n a_n \cos(\frac{\pi n}{L}x)$部分，这部分可以被改写为：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\sum_n a_n \cos(\omega_n x)
			& = \sum_n (\frac{1}{L} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega_n \tau) \dd \tau) \cos(\omega_n x) \\
			& = \sum_n (\frac{\Delta \omega}{\pi} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega_n \tau) \dd \tau) \cos(\omega_n x) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	现在，由于$L\to+\infty$，频率间隔将变得非常小$\Delta \omega = \frac{\pi}{L} \to +0$，以至于频率$\omega_n$从离散分布变为连续分布。
	那么，对$\omega_n$就由累和变成积分：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\sum_n a_n \cos(\frac{\pi n}{L}x)
			& = \sum_n (\frac{\Delta \omega}{\pi} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega_n \tau) \dd \tau) \cos(\omega_n x) \\
			& = \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} (\frac{\dd \omega}{\pi} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega_n \tau) \dd \tau) \cos(\omega x) \\
			& = \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} A(\omega) \cos(\omega x) \dd \omega \qquad A(\omega) = \frac{1}{\pi} \int^L_{-L} f(x) \cos(\omega x) \dd x \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	$\sum_n  b_n \sin(\frac{\pi n}{L}x)$项同理。
	
	还剩下$a_0$项，
	我们一般假定$f$是绝对可积的，
	绝对可积意味着$\int^{\infty}_{-\infty} \abs{f(x)} \dd x=C$这个积分收敛，
	这意味着$\int^{\infty}_{-\infty} f(x) \dd x=C$这个积分也收敛，
	因此
	\begin{equation}
		a_0 = \lim_{L \to +\infty} \frac{1}{2L} \int^L_{-L} f(x) \dd x = 0\\
	\end{equation}
	因此，我们推广Fourier级数为Fourier积分：
	\begin{equation} 
		\text{Fourier 积分:} \qquad 
		f(x) =  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} A(\omega) \cos(\omega x) \dd \omega  +  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} B(\omega) \sin(\omega x) \dd \omega 
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int^L_{-L} f(x) \cos(\omega x) \dd x \\ 
			B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int^L_{-L} f(x) \sin(\omega x) \dd x \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\newpage
	
	\subsection{推导 Fourier变换}
	Fourier积分中使用了大量三角函数，而我们知道欧拉公式
	\begin{equation}
		e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)
	\end{equation}
	我们应该能将繁杂的三角函数转变为单一的复指数函数。
	我们将论证，Fourier变换就是复指数下的Fourier积分。
	
	整合\formula{eq:Fourier_integral}的定义，我们得到
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			f(x) & =  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} A(\omega) \cos(\omega x) \dd \omega  +  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} B(\omega) \sin(\omega x) \dd \omega \\
			& = \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} \left(\frac{1}{\pi} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega \tau) \dd \tau \right) \cos(\omega x) \dd \omega  +  \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} \left(\frac{1}{\pi} \int^L_{-L} f(\tau) \cos(\omega \tau) \dd \tau \right) \sin(\omega x) \dd \omega \\
			& = \frac{1}{\pi} \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} f(\tau)\left(\cos(\omega \tau)\cos(\omega x)+\sin(\omega \tau)\sin(\omega x) \right) \dd \tau \dd \omega\\
			& = \frac{1}{\pi} \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} f(\tau)\cos(\omega (x-\tau)) \dd \tau \dd \omega \\
			& = \frac{1}{2\pi} \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} f(\tau)(e^{i\omega (x-\tau)} + e^{-i\omega (x-\tau)})  \dd \tau \dd \omega\\
			& = \frac{1}{2\pi} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} \int_{\omega=0}^{\omega=+\infty} f(\tau)(e^{i\omega (x-\tau)} + e^{-i\omega (x-\tau)})  \dd \omega \dd \tau \\
			& = \frac{1}{2\pi} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} \int_{\omega=-\infty}^{\omega=+\infty} f(\tau)e^{i\omega (x-\tau)}\dd \omega \dd \tau \\
			& = \frac{1}{2\pi} \int_{\omega=-\infty}^{\omega=+\infty} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty}  f(\tau)e^{i\omega (x-\tau)}\dd \tau \dd \omega  \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{\omega=-\infty}^{\omega=+\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau}\dd \tau \right) e^{i\omega x} \dd \omega \\
			& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{\omega=-\infty}^{\omega=+\infty} F(\omega) e^{i\omega x} \dd \omega \qquad F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{L=-\infty}^{L=+\infty} f(x) e^{-i\omega x}\dd x
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中用到了
	三角恒等式$\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B)$，
	欧拉公式推论
	$
	\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
	$，
	定积分改变上下限的技巧：
	$
	\int^{+\infty}_{0} e^{-i \omega (x-\tau) } \dd \omega = \int_{-\infty}^{0} e^{i \omega (x-\tau) } \dd \omega 
	$
	以及多元积分换积分次序
	等诸多结论。
	总之，
	\begin{equation}
		\text{Fourier 变换:} \qquad 
		\begin{aligned}
			f(x) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} F(\omega ) e^{i \omega x} \dd \omega \\
			F(\omega) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-i \omega x} \dd x  \\ 
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	
	\newpage 
	
	\subsection{验证Fourier变换的可逆性}
	我们将简要说明，若对$f(x)$做一次Fourier变换得到$F(\omega)$，那么对$F(\omega)$做一次Fourier逆变换，将重新得到$f(x)$。
	这个结论似乎非常显然，但数学毕竟是一门\textsl{充满这也要证和这也能证}的学科，因此我们简要加以论述。
	有一说一，这个证明难的恰到好处，还是比较有趣的。以下假定$f$的性质足够好。
	
	首先我们复读一遍Fourier变换的表达式：
	\begin{equation} \label{eq_fourier_repeat}
		\text{Fourier 变换:} \qquad 
		\begin{aligned}
			f(x) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F(\omega ) e^{i \omega x} \dd \omega \\
			F(\omega) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} f(x) e^{-i \omega x} \dd x  \\ 
		\end{aligned}
	\end{equation}
	只需将2式（指\formula{eq_fourier_repeat}中的第2式，下同）$F(\omega)$的表达式代入1式$f(x)$。
	但需要注意，在2式$F(\omega)$中，$x$是积分哑标，为不与1式的自由标重复，我们将其重命名为，比如说，$y$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty}  \int^{+\infty}_{-\infty} f(y) e^{-i \omega y} \dd y e^{i \omega x} \dd \omega \\
			& = \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} f(y) e^{i \omega (x-y)} \dd \omega \dd y \\
			& = \int^{+\infty}_{-\infty}  f(y) \delta(x-y) \dd y \qquad \text{使用结论\formula{eq_fourier_delta}。对$\omega$积分时，$x-y$被视为常数} \\
			& = f(x) \qquad \text{$\delta$函数的积分性质。只有$x=y$时，$f(y)\delta(x-y)$不为零}\\ 
		\end{aligned}
	\end{equation}
	得证。
	
	\newpage
	
	\subsection{简要说明多元函数的Fourier变换}
	我们接下来不严谨地说明多元函数Fourier变换的由来。
	在解析求解PDE中，我们知道，一个函数解可以写为一组本征函数的求和：
	\begin{equation}
		f=f(x,y,z) \qquad f = \sum_n c_n f_n (x,y,z)
	\end{equation}
	$f_n$是一个本征函数，$c_n$是相应系数。而本征函数$f_n$ \footnote{理论上来说，分离多元函数时会引入多个分离系数，但为简明起见，此处忽略这一点。} 可以继续被分离变量：
	\begin{equation}
		f_n(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)
	\end{equation}
	我们对$X$做Fourier变换。由于$Y,Z$不含$x$，因此对$X$做Fourier变换时被视为常数
	\begin{equation}
		f_n (x, y, z) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F_x(\omega_x) e^{i \omega_x x} \dd \omega_x) Y(y) Z(z)
	\end{equation}
	同理，对$Y,Z$分别做Fourier变换
		\begin{equation}
		f_n (x, y, z) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F_x(\omega_x) e^{i \omega_x x} \dd \omega_x)(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F_y(\omega_y) e^{i \omega_y y} \dd \omega_y) (\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_{-\infty} F_z(\omega_z) e^{i \omega_z z} \dd \omega_z) 
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		f_n(x,y,z) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} F_n(\omega_x,\omega_y,\omega_z ) e^{i (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd \omega_x  \dd \omega_y  \dd \omega_z \\
	\end{equation}
	其中$F_n = F_x F_y F_z$。
	分别对每一个本征函数均如此操作，随后两边同时再对$c_n$求和：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			f &= \sum_n c_n f_n \\
			&= \sum_n c_n \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} F_n(\omega_x,\omega_y,\omega_z ) e^{i (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd \omega_x \dd \omega_y \dd \omega_z \\
			&= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} \sum_n c_n F_n(\omega_x,\omega_y,\omega_z ) e^{i (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd \omega_x \dd \omega_y \dd \omega_z \\
			&= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3 \iiint^{+\infty}_{-\infty} F(\omega_x,\omega_y,\omega_z ) e^{i (\omega_x x+\omega_y y+\omega_z z)} \dd \omega_x \dd \omega_y \dd \omega_z
		\end{aligned}
	\end{equation}
	这就是我们先前所说的多元函数Fourier变换。
	这种论证思路虽然直观明了，但并非严谨的证明（例如，暗中假定了$f$能被分解为本征函数之和等）。
	
	
\end{document}
